семиразовий чемпіон світу, заслужений майстер спорту СРСР
Народився 2 січня 1966 р. у м. Волочиськ Хмельницької області, закінчив Волочиську середню школу № 5.
У дитинстві захоплювався багатьма видами спорту, проте активно займатися веслуванням на каное почав з одинадцяти років у Волочиській ДЮСШ під керівництвом першого тренера Аркадія Довбуша. За період занять у юнацькому спорті неодноразово ставав переможцем і призером всеукраїнських змагань, а в 1983 р. став чемпіоном І юнацьких Ігор України. В1983 р., вступивши до Хмельницького технологічного інституту побутового обслуговування на економічний факультет, почав удосконалювати спортивну майстерність під керівництвом тренера Юрія Корнілова. Потім була служба в Радянській армії.
Вперше значних спортивних успіхів Валерій Вешко досягнув у 1985 р., ставши чемпіоном Радянського Союзу разом з напарником по каное-двійці Юрієм Гуріним на дистанції 1000 метрів. У 1986 році став чемпіоном IX Спартакіади народів СРСР, володарем Кубка СРСР, а також чемпіоном Спартакіади дружніх армій. В сезоні 1987 р., у складі збірної СРСР здобув право захищати честь країни на чемпіонаті світу в німецькому Дуйсбурзі, де здобув золото в каное-двійці на 1000 метрів і срібло – на 500-метрівці. У цьому ж році, відстоюючи честь ХТІПО на Всесвітній Універсіаді в місті Загреб (Югославія), двічі у каное-двійці на дистанції 500 11000 метрів став чемпіоном. У1989 р. на світовому чемпіонаті у болгарському місті Пловдів він піднімався на п’єдестал пошани тричі: золоті медалі в каное-четвірці на 500 і 1000 метрів, а також бронзова медаль в каное-двійці на 1000 метрів. У 1990 р. на чемпіонаті світу у місті Познань і у наступному році в Парижі загалом виграє чотири золоті нагороди в каное-четвірці на 500 і 1000 метрів.
Протягом усієї спортивної кар’єри Валерій Вешко неодноразово ставав переможцем багатьох міжнародних регат, чемпіоном СРСР та України. Він був переможцем усіх змагань найвищого рівня, які були у період з 1985 до 1999 р. Однак на Олімпійських Іграх 1988 р. в Сеулі виступив як запасний.
Починаючи з 1997 р. до 2015 р., очолював Управління молоді І спорту в місті Хмельницькому.